Решение задач по теме «Динамика»

Здесь мы рассмотрим методы решения основных типов задач по теме «Динамика». Как известно, раздел физики, в котором получаем ответы на вопросы о том, почему тело движется с переменной скоростью, что происходит с телами в процессе их взаимодействия, состоит из законов Ньютона, законов сохранения и сопутствующей теории. В классической физике известны три закона Ньютона, закон всемирного притяжения тел друг к другу называют четвёртым законом Ньютона.
Законы на самом деле достаточно простые, но кто- то очень мудрый, возможно Эйнштейн, но нет однозначного доказательства того, кто первый произнёс фразу о том, что «всё гениальное просто, а всё простое гениально». Гениальность законов Ньютона в том, что понять их может абсолютно любой ученик или студент, изучающий физику. Но при этом с помощью этих очень простых законов объясняются многие явления в природе, технике, в мире элементарных частиц и т.д.
Трудность, связанная с изучением законов Ньютона, состоит только в умении решать задачи. То есть основная мысль всего сказанного выше состоит в том, что законы Ньютона ни формулировать, ни объяснять здесь я не буду. Каждый в любом учебнике физики их может прочитать и понять.
А вот как решать основные типы задач с применением законов Ньютона я здесь расскажу. Задач по любому разделу в физике придуманы тысячи. Но все их можно разделить на пять – шесть основных типов. Каждая из этих тысяч задач, входит в какую- то группу.
Одну задачу из группы я рассказываю, а дальше вы решаете тысячу подобных.
Это приблизительно то же, что сказал древний китайский философ Конфуций: «каждая истина имеет четыре угла: как учитель, я даю вам один угол, а вам нужно найти три оставшихся».
Общее требование в решении задач по динамике – это чертёж, на котором указываем тело и действующие на него силы. Кроме сил выбираем систему координат, в которой рассматриваем движение тела, указываем проекции сил, направление движения, направление ускорения. Помним, что направление скорости совпадает с направлением движения, направление ускорения при прямолинейном движении совпадает с направлением скорости при равноускоренном движении, но противоположно скорости при равнозамедленном движении. В основном, всегда бывает ясно по условию, каким является движение: ускоренным или замедленным.
Но, как говорится, при изучении наук примеры полезнее правил, поэтому посмотрите на решение конкретных задач.

Задача №1.

Сила тяги, которую развивает автомобиль на горизонтальном участке дороги, равна 23 кН, на расстоянии 100 м скорость автомобиля массой 2000 кг возрастает от 36 км/ч до 54 км/ч. Найти силу сопротивления движению автомобиля, считая её постоянной.
Решение.
Условие задачи в виде «Дано» и перевод единиц в систему СИ, думаю, умеет записать каждый, кто учится решать задачи.
Одна из наиболее простых задач, но здесь понимаем самое главное, что надо уметь в любой другой задаче.
Любое тело на чертеже изображаем в виде прямоугольника и считаем его материальной точкой.
Чертёж к данному условию с указанием сил и ускорения имеет следующий вид:

Теперь записываем второй закон Ньютона в векторной форме:
N ⃑+F ⃑+F ⃑_тр+F ⃑_т=ma ⃑.
Записываем это уравнение в проекциях на оси ох и оу:
OX: F-Fтр=ma (1)
OY: N-Ft=0 (2)
Получили систему уравнений, из которой найдём силу трения.
Но сначала найдём ускорение, по формулам, изученным в кинематике: расстояние запишем в виде формулы: S=(v_2^2-v_1^2)/2a, отсюда находим ускорение: a=(v_2^2-v_1^2)/2S, это лучше вычислить, подставив известные величины:
a= (225-100)/200=0,625. м/с^2
Теперь из уравнения (1) находим силу трения:
Fтр=F-ma
Fтр=2000-2000∙0,625=750 Н
Ответ: Fтр=750 Н

Задача №2.
На краю стола прикреплён блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по поверхности стола, а другой – вдаль вертикали вниз.Определить коэффициент трения μ между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза одинаковы, массой блока можно пренебречь, при этом грузы движутся с ускорением 2 м/с^2. Проскальзыванием нити по блоку и силой трения, действующей на блок, пренебречь.
Решение.
Это типовая задача на движение двух и более тел, соединенных между собой невесомой и нерастяжимой нитью. Надо здесь понимать, что нить невесомая означает, что сила тяжести на нить не действует, а нерастяжимая – это условие того, что сила натяжения, возникающая в нити, одинаковая в любой её точке, в частности в тех точках, где нить прикрепляется к грузам.
Делаем чертёж, на котором указываем силы, действующие на каждый груз, указываем направления ускорений, оси координат:

Здесь учитываем, что система связанных тел имеет одинаковое ускорение, за исключением тех случаев, когда в системе участвует подвижный блок.
Так как силой трения в блоке пренебречь, то момент сил, действующих на блок , равен 0. Так как нить нерастяжима, силы натяжения в нити, действующих на блок с двух сторон равны, их момент сил в сумме равен 0.
Для каждого из связанных тел записываем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:
T ⃗+F ⃗_тр+N ⃗+m_1 g ⃗=m_1 a ⃗
T ⃗+m_2 g ⃗=m_2 a ⃗
Записываем эти уравнения в проекциях на оси ох и оу, причём, для каждого тела выбираем направления осей координат отдельно. На рисунке направления осей указаны.
T-F_тр=m_1 a (1)
〖 m〗_2 g-T=m_2 a (2)
N-m_1 g=0 (3)
Учитываем, что сила трения скольжения определяется по формуле:
F_тр=μN, из уравнениия (3 ) получаем: N=m_1 g, тогда сила трения
F_тр=μm_1 g, подставляем в (1), решаем систему оставшихся двух уравнений:
〖 m〗_2 g-T=m_2 a,
T-μm_1 g=m_1 a.
Из полученной системы найдём ускорение:
m_2 g-μm_1 g=a〖(m〗_2+m_1), упростим, учитывая условие задачи:
g-μg=2a, отсюда находим коэффициент трения:
μ=(g-2a)/g=(9,8-2∙2)/9,8=0,6
Ответ: μ=0,6

Задача №3.
Два тела, массами m1=0,4 кг и m2=0,1 кг, связанные между собой невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, установленный на вершине двух наклонных плоскостей. Углы наклона плоскостей к горизонту равны
α = 30° и β=45°. Считая блок невесомым, пренебрегая силами трения в системе, определить ускорения, с которыми движутся тела и силу натяжения нити.
Решение.
Обязательно строим чертёж, на котором указываем силы и ускорения для каждого тела. Также для каждого тела выбираем свою систему координат. Из данных значений массы тел и углов наклонных плоскостейлегко определяем, что система будет двигаться так: первое тело – вниз, второе- вверх.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной форме:
F ⃑_t1+N ⃑_1+T ⃑=m_1 a ⃑
F ⃑_t2+N ⃑_2+T ⃑=m_2 a ⃑

Запишем уравнения для каждого тела в проекциях на оси ох и оу:
Ox: Ft1sinβ-T =m1a (1)
OY: N1- Ft1cosβ=0 (2)
OX: -Ft2sinα+T =m1a (3)
OY: N2- Ft2cosα=0 (4)
Сложим уравнения (1) и (3):
Ft1sinβ-T- Ft2sinα+T = (m1+ m2)a,
Ft1sinβ- Ft2sinα =(m1+ m2)a
Отсюда определим ускорение:
a=(F_t1 sinβ- F_t2 sinα)/(m_1+ m_2 )=g(m_1 sinβ- m_2 sinα)/(m_1+ m_2 )
a=(9,8∙(0,4∙0,707- 0,2∙0,5)/(0,4+ 0,2)=2,9м/c^2 , (6)
Определим силу натяжения.
Подставим значение (6) в (3), получаем:
Т= m1g sinβ- m1a
T=0,4∙(9,8 ∙sin45-2,9)=1,6 Н
Ответ: a=2,9м/c^2 ,Т=1,6 Н
Задача 4.
Однородная тонкая балка АВ массой m1 = 50 кг опирается одним концом А на гладкий горизонтальный пол, образуя угол α = 25° с ним, а другим концом В - на гладкую плоскость, наклоненную под углом β = 45° к горизонту. Конец балки В поддерживается веревкой с грузом m2, перекинутой через блок C. Определить силу нормальной реакции наклонной плоскости N2. Трением в блоке пренебречь.
Решение.
Строим чертёж согласно условию. На чертеже указываем силы, действующие на балку.

Так как груз m_2 находится в покое, то получаем равенство сил: T^/=m_2 g, (1) но силы натяжения в верёвке равны, T^/=T, (2).
Запишем условия равновесия для балки:
N_2 sinβ-Tcosβ=0, (3)
〖-m〗_1 g+N_1+N_2 cosβ+Tsinβ=0 (4)
LN_1 cosα-L (m_1 g)/2 cosα=0
Из последнего находим силу N_1: N_1=(m_1 g)/2 (6)
Подставим (6) в (4):
〖-m〗_1 g+(m_1 g)/2+N_2 cosβ+Tsinβ=0
N_2 cosβ+Tsinβ-(m_1 g)/2=0
Находим силу N_2 из (3):
N_2 sinβ=Tcosβ, N_2=Tcosβ/sinβ (7)
Подставим (7) в (4): Tcosβ/sinβ cosβ+Tsinβ=(m_1 g)/2
T((〖cos〗^2 β+〖sin〗^2 β)/sinβ)=(m_1 g)/2, отсюда находим силу натяжения верёвки:
T=(m_1 g)/2 sinβ. Последнее уравнение подставим (7):
N_2=(m_1 gsinβ)/2sinβ cosβ=(m_1 g)/2 cosβ
Производим вычисления:
N_2=(50∙9,8)/2∙cos45=213Н

Ответ: N_2=213Н

Задача №5.
При подъёме груза массой 10 кг на высоту 3 м была совершена работа 450 Дж. С каким ускорением поднимался груз.
Решение.
Задача на определение ускорения, но с использование теории механической работы. Подход к решению прежний. Также на чертеже указываем действующие на тело силы.

Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:
F ⃗_t+F ⃗=ma ⃗
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось оу:
F-Ft=ma, отсюда находим силу: F= ma+ Ft
Силу тяжести находим по формуле:
F=mg, тогда F-mg=ma, F=mg+ma,
Работу силы тяги при подъёме груза определяем по формуле: А=FS, , S=h, g=9,8 м/с^2≈10м/с^2
A=mgh+mah, отсюда решим уравнение относительно ускорения:
mah=A-mgh, a=(A-mgh)/mh=(450-10∙10∙3)/(10∙3)=5м/с^2
Ответ: а=5 м/с^2